주요 하중에 따른 전단력도·휨모멘트도 작도 원칙

개념

전단력도와 휨모멘트도는 무엇을 보여주는가

보에 수직하중이 작용하면 각 단면에는 내부 전단력 V와 내부 휨모멘트 M이 생긴다. 전단력도(SFD) 는 절단 위치에 따라 전단력이 어떻게 변하는지, 휨모멘트도(BMD) 는 휨모멘트가 어떻게 변하는지를 한 축 위에 표시한 그래프다.

두 도표의 목적은 계산값을 보기 좋게 옮기는 데 있지 않다. 위험 단면과 구조상세의 근거를 빠르게 읽는 데 있다.

읽을 값	직접 판단하는 항목
`	V
`	M
`V = 0`인 위치	연속 구간에서 `M`의 극값 후보
`M = 0`인 위치	반곡점, 인장측 전환, 주근 상세 검토
도형의 불연속·기울기	집중하중·집중모멘트·분포하중의 존재와 크기 검산

등분포하중을 받는 단순지지보의 하중도·전단력도·휨모멘트도

시작 전에 고정할 것: 부호규약

교재와 해석 프로그램은 전단력 부호를 서로 다르게 표기할 수 있다. 이 문서는 단순지지보의 처짐형상처럼 아래로 휘는 새깅(sagging) 모멘트는 양(+), 지점부 상부가 인장되는 호깅(hogging) 모멘트는 음(−)으로 둔다. 전단력은 아래 표의 관계식과 일관되도록 정의한다.

dV/dx = −w(x)

dM/dx = V(x)

여기서 w(x)는 아래 방향을 양(+)으로 둔 분포하중의 크기다. 다른 부호규약을 사용해도 되지만, 한 문제 안에서는 자유물체도·전단력도·휨모멘트도에 같은 규약을 끝까지 유지해야 한다.

기준 및 규정

하중도 → 전단력도 → 휨모멘트도

작도 순서는 고정한다.

보 전체의 자유물체도를 그리고 지점반력을 구한다.
지점, 집중하중, 집중모멘트, 분포하중의 시작·끝에서 구간을 나눈다.
왼쪽 또는 오른쪽 절단면 하나를 일관되게 사용해 각 구간의 V(x)를 구한다.
V의 기울기와 점프를 이용해 전단력도를 그린다.
전단력도의 면적과 M의 경계값을 이용해 휨모멘트도를 그린다.
평형, 끝단·힌지의 경계조건, 면적 관계로 검산한다.

이 순서를 바꾸어 모멘트도부터 외워 그리면 집중모멘트, 부분분포하중, 돌출부에서 오류가 늘어난다.

도형을 결정하는 세 가지 관계

하중 상태	전단력도 `V`	휨모멘트도 `M`
하중 없음 `w = 0`	수평선	직선
등분포하중 `w = 일정`	직선	포물선
등변분포하중 `w = ax+b`	포물선	3차 곡선
집중하중 `P`	`P`만큼 수직 점프	연속이지만 기울기가 바뀜
집중모멘트 `M₀`	변화 없음	`M₀`만큼 수직 점프

V의 변화량은 하중도의 부호 있는 면적과 같고, M의 변화량은 전단력도의 부호 있는 면적과 같다. 따라서 단위도 함께 검산할 수 있다. w[kN/m] × dx[m] = V[kN], V[kN] × dx[m] = M[kN·m]이다. 하중·전단력·모멘트의 미분·적분 관계는 구조역학의 기본 평형식에서 나온다. 관계식과 유도를 참조한다.

반드시 표시할 점

지점과 자유단: 반력, 끝단 모멘트 조건을 표시한다. 단순지지·롤러 지점에서 보통 M = 0이며, 고정단에는 일반적으로 반력모멘트가 있다.
집중하중 위치: 전단력도만 불연속이다. 점프 크기는 하중 크기와 같아야 한다.
집중모멘트 위치: 휨모멘트도만 불연속이다. 전단력도를 점프시키면 안 된다.
V = 0 위치: 분포하중을 받는 연속 구간의 최대·최소 모멘트 후보다. 양 끝과 함께 값을 비교한다.
분포하중 시작·끝: 전단력도는 연속이지만 기울기가 바뀐다. 휨모멘트도도 연속이지만 곡률이 바뀐다.

주요 하중별 작도

중앙 집중하중 `P`를 받는 단순지지보

경간 L의 중앙에 P가 작용하면 대칭이므로 반력은 각각 P/2다.

구간	전단력 `V`	휨모멘트 `M`	도형
왼쪽 지점~중앙	`+P/2`	`M = (P/2)x`	V 수평, M 직선 상승
중앙~오른쪽 지점	`−P/2`	직선 하강	V 수평, M 직선 하강

집중하중 위치에서 전단력은 P만큼 아래로 점프한다. 휨모멘트는 끊기지 않으며, 중앙에서 최대값 Mmax = PL/4를 갖는다. 하중이 작용하는 점 자체가 모멘트도의 꼭짓점인 이유는 전단력이 그 지점에서 양수에서 음수로 바뀌기 때문이다.

전 경간 등분포하중 `w`를 받는 단순지지보

반력은 각각 wL/2다. 왼쪽 지점에서 거리 x를 잡으면 다음과 같다.

V(x) = wL/2 − wx

M(x) = (wL/2)x − wx²/2

전단력도는 기울기 −w의 직선이고, 휨모멘트도는 아래로 볼록한 포물선이다. V = 0인 x = L/2에서 Mmax = wL²/8이다. 균등하중 아래에서 전단력은 직선, 휨모멘트는 2차 곡선이 된다는 점은 암기보다 미분관계로 판단하는 편이 안전하다. 정정 보의 예제와 도형 관계를 확인할 수 있다.

편심 집중하중 `P`를 받는 단순지지보

왼쪽 지점에서 하중까지의 거리를 a, 오른쪽 지점까지의 거리를 b라 하면 L = a+b이고 반력은 R_A = Pb/L, R_B = Pa/L이다.

하중 전에는 V = +R_A, 하중 뒤에는 V = −R_B로 일정하다.
전단력도는 하중 위치에서 P만큼 점프한다.
휨모멘트도는 두 개의 직선으로 이어지고, 최대모멘트는 하중 위치 x=a에서 Mmax = Pab/L이다.

대칭이 아닌 보에서 최대모멘트가 경간 중앙이라고 가정하는 오류를 막는 기본 사례다.

등변분포하중을 받는 단순지지보

하중강도가 선형으로 증가하거나 감소하면 w(x)는 직선, 전단력도는 포물선, 휨모멘트도는 3차 곡선이 된다. 삼각형 분포하중은 합력만으로 지점반력을 구할 수 있지만, 도형의 중간 형상은 반드시 w → V → M 순서로 결정한다.

합력의 크기는 삼각형 면적인 w₀L/2이고, 작용점은 큰 쪽에서 L/3, 작은 쪽에서 2L/3이다. 이 작용점은 반력 계산용이며, 실제 하중을 한 점에 모아 전단력도와 휨모멘트도를 직선으로 그려서는 안 된다.

자유단 집중하중 `P`를 받는 캔틸레버

자유단에서 고정단으로 갈수록 전단력은 일정하고, 휨모멘트는 직선으로 증가한다. 최대 절대값은 고정단에서 |Mmax| = PL이다. 이 경우의 모멘트는 일반적인 새깅 규약에서 음(−)이 된다. 부호보다 중요한 것은 고정단 상부가 인장되는 거동과 고정단에서 최대 모멘트가 생긴다는 사실이다.

적용

예제: 6 m 단순지지보, 전 경간 `12 kN/m`

조건: 경간 L = 6 m, 등분포하중 w = 12 kN/m.

전체 하중은 wL = 72 kN이다.
대칭이므로 반력은 R_A = R_B = 36 kN이다.
전단력은 왼쪽 지점에서 +36 kN으로 시작하여 기울기 −12 kN/m의 직선으로 감소한다.
중앙 x=3 m에서 V=0이 된다.
오른쪽 지점 직전에서 −36 kN이며, 오른쪽 반력으로 0으로 복귀한다.
최대모멘트는 전단력도 왼쪽 절반의 면적과 같으므로 36 × 3 / 2 = 54 kN·m이다.
식으로 검산하면 Mmax = wL²/8 = 12 × 6² / 8 = 54 kN·m이다.

이 예제에서 중앙부 하부근은 최대 정모멘트에, 지점 가까운 구간은 큰 전단력에 대응한다. 다만 실제 철근의 절단·정착 위치는 모멘트도만이 아니라 정착·이음·전단·시공성 기준을 함께 만족해야 한다.

실무·학습 효용

휨 설계와 주근 배치

모멘트도의 절대값이 큰 구간은 큰 인장철근량을 요구한다. 단순지지보의 양(+) 모멘트 구간에서는 일반적으로 하부근이, 연속보의 지점부 음(−) 모멘트 구간에서는 상부근이 주로 저항한다. 따라서 모멘트도는 철근을 “어느 면에 얼마나” 배치할지의 출발점이다.

그러나 모멘트도가 작아지는 위치를 곧바로 철근 절단 위치로 쓰면 안 된다. 설계모멘트를 만족하는 이론 절단점 이후에도 정착길이와 상세기준에 따른 연장길이가 필요하다. 2024년 개정 고시에는 콘크리트구조 설계기준과 정착·이음 설계기준이 포함되어 있으므로, 실제 설계에는 최신 원문을 확인해야 한다. 국가건설기준센터 고시 안내를 기준 진입점으로 사용한다.

전단 설계와 스터럽 배치

전단력도는 전단 위험이 지점 가까이에서 대체로 커지는 이유를 보인다. 등분포하중 단순지지보에서 |V|는 지점에서 최대이고 중앙에서 0에 가까워진다. 따라서 전단 설계에서는 지점부의 설계전단력, 전단경간, 집중하중 위치, 개구부·단차 등을 별도로 검토한다.

스터럽 간격을 중앙부로 갈수록 넓히는 상세가 자주 쓰이지만, 이는 전단력도만 보고 임의로 정하는 작업이 아니다. 최소 전단보강, 최대 간격, 집중하중 인접부, 지점면 기준 등 관련 기준을 확인해야 한다.

구조해석 결과의 검토

해석 프로그램의 부재력 출력은 수치 목록만으로 읽으면 오류를 놓치기 쉽다. SFD/BMD로 바꾸면 다음을 빠르게 확인할 수 있다.

지점반력의 합이 전체 수직하중과 맞는가
집중하중 위치에서 전단력 점프가 하중 크기와 맞는가
단순지지점에서 모멘트가 0으로 돌아오는가
분포하중이 없는 구간에서 전단력도가 수평인지
최대·최소 모멘트가 전단력 0 또는 전단력 부호 변화와 부합하는가

흔한 오류

오류	왜 틀리는가	바로잡는 방법
등분포하중 아래의 V를 곡선으로 그림	`dV/dx`가 일정하므로 V는 직선이다.	하중 차수보다 V의 차수는 하나 낮다고 판단한다.
등분포하중 아래의 M을 직선으로 그림	V가 직선이므로 M은 포물선이다.	전단력도의 면적이 모멘트 변화량임을 적용한다.
집중하중에서 M을 점프시킴	집중하중은 V만 불연속시킨다.	M의 기울기만 바뀌고 값은 연속이다.
집중모멘트에서 V를 점프시킴	외력모멘트는 수직력 합을 바꾸지 않는다.	M만 해당 크기만큼 점프한다.
`V=0`을 모든 보의 최대모멘트로 단정	집중하중·경계점·구간 끝도 극값 후보일 수 있다.	V=0, 구간 경계, 양 끝을 함께 비교한다.
반력만 맞으면 도형도 맞다고 판단	평형은 필요조건일 뿐 구간별 관계를 보장하지 않는다.	하중 면적–V 변화, V 면적–M 변화를 각각 검산한다.

기출·학습 적용

서술형 답안 골격

전단력·휨모멘트의 단면력 정의를 한 문장으로 쓴다.
dV/dx = −w, dM/dx = V를 제시한다.
집중하중·등분포하중·집중모멘트의 도형 변화를 표로 정리한다.
V=0과 최대모멘트, M=0과 반곡점의 의미를 설명한다.
주근·스터럽·해석 검토에서의 효용을 연결한다.
부호규약과 최신 설계기준 확인 범위를 명시한다.

자가점검 문제

경간 8 m 단순지지보에 전 경간 10 kN/m의 등분포하중과 왼쪽에서 2 m 위치의 20 kN 집중하중이 함께 작용한다. 다음을 순서대로 작성한다.

지점반력
집중하중 전·후의 전단력식과 전단력도 주요 값
V=0 위치와 최대모멘트
휨모멘트도 도형의 구간별 형태
최대 정모멘트에 대응하는 주근 배치 방향과 지점부 전단 검토 위치

풀이 과정에서 집중하중은 전단력도에 수직 점프를 만들고, 등분포하중은 각 구간의 전단력 기울기를 −10 kN/m로 만든다는 점을 사용한다.

크리틱

작도법은 설계모델의 타당성을 대신하지 않는다

전단력도·휨모멘트도는 주어진 경계조건·하중·강성 모델의 결과를 읽는 도구다. 슬래브의 실제 하중분배, 보-기둥 접합부 강성, 균열 후 강성, 장기처짐, 지진하중 조합을 무시한 단순 보 모델의 결과를 실제 설계에 그대로 적용할 수는 없다.

모멘트도만으로 철근 상세를 확정할 수 없다

모멘트도는 필요한 단면 성능의 분포를 보여주지만, 철근 절단·이음·정착에는 연성, 전단, 피복, 시공순서와 정착·이음 기준이 더해진다. 그래서 “모멘트가 0인 곳에서 철근을 끊는다”는 표현은 위험하다.

부호보다 평형과 연속성이 우선이다

부호규약이 다른 두 도면은 모양이 상하 반대일 수 있어도 각각 일관되면 물리적으로 같은 결과를 나타낼 수 있다. 반면, 반력 합계·점프 크기·면적 관계가 어긋나면 부호 표기가 맞아 보여도 작도는 틀린 것이다.

출처

LibreTexts, Shear/Moment Diagrams — 하중·전단력·휨모멘트의 관계식과 정정 보 작도 원리
LibreTexts, Relation Among Distributed Load, Shearing Force, and Bending Moment — 미분 관계 유도와 캔틸레버 예제
국가건설기준센터 — 실제 콘크리트구조 설계·상세 적용 시 최신 KDS·KCS 원문 확인

이 문서는 구조해석의 기초 학습용이다. 실제 구조물의 설계·안전 판단에는 적용 시점의 KDS·KCS, 하중기준, 구조기술사의 검토를 사용해야 한다.

개념